Теоремы сложения и умножения вероятностей: основные задачи. Теоремы сложения и умножения вероятностей: основные задачи Введение в использование типов данных и свойств полей

Достоверное

33) Постановка задачи вида – «Пахать до седьмого пота!» – может быть описана алгоритмической структурой, которая называется …+ цикл со счетчиком

34) К процессам, обеспечивающим работу информационной системы, относятся …обработка входной информации и представление ее в удобном виде+ вывод информации для предоставления потребителям

35) Для кодирования всех возможных символов различных национальных алфавитов, а также символов, используемых в математических, физических и других специальных текстах, используется кодовая таблица …+ UNICODE

36) К функциям информационных систем организационного управления (например, 1С Предприятие) относятся …бухгалтерский учет+ управление сбытом и снабжением

По алфавитному списку, содержащему фамилии 9 юношей и 10 девушек, случайным образом выбирается одна фамилия. Установите соответствия между случайными событиями и событиями, противоположными им:1) «выбрана фамилия девушки», «выбрана фамилия, имеющая в списке номер, больший 2»1 «выбрана фамилия юноши»2 «выбрана первая или вторая фамилия из списка»

38) Даны множества и. Тогда справедливы следующие высказывания …+ «множество содержит 2 элемента»+ «множество содержит 5 элементов»

39) – множество юношей студенческой группы, – множество отличников этой группы. Известно, что, причем, . Тогда справедливы высказывания …+ «Все отличники группы являются юношами»

+ «В группе есть отличники»

40) Понятие определяется через понятие в случае, если …+ – прямоугольник, – четырехугольник

41) В таблицу базы данных «Автомобили», содержащей четыре столбца – «Государственный номер», «Модель», «Владелец», «Год выпуска» – вписано 150 автомобилей. Количество полей и записей в таблице составит:+ полей – 4, записей – 150

42) – множество планет Солнечной системы, – Луна, – Земля, – Полярная звезда. Тогда верны следующие высказывания …

43) Кроме компьютерных вирусов к вредоносному программному обеспечению (malware) относятся …+ троянцы+ черви

44) Алгоритм задан блок-схемой:.Тогда в результате выполнения алгоритма выводится+ (модуль икс) для любого вводимого значения икс

46) Алгоритм, записанный в специальной «понятной» компьютеру форме, принято называть …+ программой

47) Студент выучил 6 из 20 вопросов, вынесенных на зачет, и знает методы решения 15 типовых задач из 30. Для успешной сдачи зачета студент должен ответить на один вопрос и решить одну типовую задачу. Вероятность того, что студент не сдаст зачет при случайном выборе вопроса и задачи, равна …+0,85



48) Пакет программ MicrosoftOffice относится к __________ программному обеспечению.+ прикладному

49) – множество чисел, оканчивающихся на 6, – множество четных чисел. Тогда о множествах и можно сказать, что …

50) Операционная система LINUX разработана с использованием языка программирования …+ Си

51) Вероятность бесперебойной работы станка в течение календарного года составляет 0,4. Тогда вероятность исправной работы станка в течение двух лет равна …+ 0,16

52) – количество выпадений «гербов» при двукратном подбрасывании монеты, имеет следующее графическое представление …

53) Алгоритм для определения суммы чисел, принадлежащих интервалу среди N введенных чисел может быть записан:1) переменной N присвоить значение (ввести с клавиатуры);2) сумме присвоить начальное значение 3) определить начальное значение параметра 4) ввести с клавиатуры число X;5) если то вычислить 6) изменить значение 7) если идти к пункту 4;8) вывод значения S9) закончить.Тогда

блок-схемой данного алгоритма будет …

54) Конечный набор отличных друг от друга знаков, используемых в естественном или формальном языке для составления слов, фраз, текстов, называется …+ алфавитом

55) Служебному приложению «Архивация данных» соответствует пиктограмма …

56) Известно, что пересечение множеств A и B есть интервал числовой оси Тогда множества A и B могут быть равны …

57) Документ, созданный в приложении MS PowerPoint, имеет стандартное расширение …+ .ppt

58) Операционной системой, компоненты которой доступны в исходных кодах для любого пользователя и которая распространяется бесплатно, является …+ FreeBSD

59) Математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределениягде равно Тогда значение равно …+ – 1



60) Математическое ожидание квадрата дискретной случайной величины, заданной законом распределения+ 85

61) K – множество двузначных чисел, сумма цифр которых равна 4, P – множество двузначных чисел, произведение цифр которых равно 3. Тогда истинны следующие высказывания+ множество содержит 2 элемента+ множество содержит 2 элемента

62) Макровирусы заражают файлы с расширением …+ .DOC+ .XLS

63) Ваня забыл две последние цифры семизначного номера телефона друга, но он помнил, что все цифры этого номера различны. Тогда наибольшее количество номеров, которые ему придется проверить, равно …+20

64) В приложениях MS Office 2007 диалоговое окнопринадлежит вспомогательному средству …+ «SmartArt»

65) Даны математические предложения: «Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон»; «Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны»; «Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника»; «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной».Среди этих предложений есть …+ 1 определение, 2 теоремы, 1 аксиома

66) Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет вид:а Тогда значение равно …+2

67) Пусть – множество слов, начинающихся с буквы «д», а – множество слов, состоящих из двух слогов. Известно, что и. Тогда может быть словом …+ дуб+ дорога

68) Определением является …+ предложение, которое раскрывает смысл некоторого понятия

69) Так выглядит рабочий экран MicrosoftPowerPoint 2007 в режиме …+ «Сортировщик слайдов»

70) В качестве ключевого элемента в системах защиты от несанкционированного копирования могут использоваться …+ определенные характеристики аппаратуры компьютера+ электронные ключи

71) В коробке находятся шары с номерами от 1 до 20. Наугад извлекается один шар. Установите соответствие между видом события и событием1. невозможное событие2. случайное событие +1 «извлеченный шар не имеет номера»2 «извлечен шар с четным номером»

72) Для перехода на новую строку внутри абзаца в MicrosoftWord следует нажать …+ Shift+Enter

73) Вероятность того, что студент верно решит первую задачу, равна 0,4, а вероятность правильно решить вторую задачу не зависит от результата решения первой и составляет 0,25. Вероятность того, что студент решит верно обе предложенные задачи, равна …+0,1

74) Математическое ожидание квадрата дискретной положительной случайной величины равно, а ее среднее квадратичное отклонение. Тогда математическое ожидание, вычисленное при помощи формулы для расчета дисперсии, равно …+7

75) Даны математические предложения: = «Через любые две точки на плоскости можно провести прямую, и притом только одну»; = «Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны»; = «Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника».Тогда среди данных математических предложений есть+ определение, теорема и аксиома

76) В качестве встраиваемого языка программирования в браузерах для придания интерактивности веб-страницам используется …+ JavaScript

77) Топология компьютерной сети, в которой каждый компьютер подсоединен к двум соседним компьютерам, называется …+ «кольцо»

. Тогда значение равно …+


.

+ +

+

+ MS Outlook

+ « »+ « »

Алгоритм задан блок-схемой:
.

+


1. «Извлечена дама»
1 2

+ 120


.
+ рублей.


+ +

+ скрипт-языков

1 2

+ коммерческий+ shareware

+ логической топологией

+ Лого

+

Закон распределения дискретной случайной величины ,
,
имеет вид:+

A B
1)
2)

+1 12 0


.

+ «ЛУНА»

+ +

+






будет выведено +5 записей.

+ абзацев

+ Windows 98

+ 220



+ 32

+

+ слайдом


10. Вывести значения .
+ 5

Известно, что
Лошадь купила четыре галоши,
Пару хороших и пару поплоше.



+ ветвление


+ +

+ Windows 2000

+ изменение размера полей



+ 3

+

+ кибернетики

+ топологией

+

+ Pascal

1. Для типа данных REAL в языке программирования Pascal не определенаоперация …+ ^ (возведение в степень)

2. Трижды производится бросание игральной кости. Вероятность того, что трижды выпадет 2 очка, вычисляется следующим образом …+

3. Случайная величина задана законом распределения . Ее математическое ожидание равно . Тогда значение равно …+

4. График функции распределения непрерывной случайной величины имеет вид:
.
Тогда значение, которое не может принимать случайная величина , равно …

Среди программных продуктов, представленных логотипами, антивирусными программами являются …+ +

Вкладке «Вид» приложения MicrosoftPowerPoint 2007 принадлежит группа команд …+

В пакете программ MS Office для отправки и получения электронной почты используется приложение …+ MS Outlook

Даны множества , . Тогда для них истинны следующие утверждения …+ « »+ « »

Алгоритм задан блок-схемой:
.
В результате выполнения представленного алгоритма при будет выведено …+ работник

Многоугольником распределения дискретной случайной величины , для которого вероятность равна 0,35, является …+

Из колоды в 36 карт случайным образом извлекают одну. Установите соответствие между равновозможными событиями.
1. «Извлечена дама»
2. «Извлечена карта достоинством выше дамы» +1 «извлечена карта достоинством выше короля»2 «извлечен валет или король» «извлечена карта достоинством не ниже дамы»

Буквы К, О, Н, У, С закодированы с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 (каждой букве соответствует одна цифра, причем разным буквам соответствуют разные цифры, например, К – 1, О – 3, Н – 5, У – 4, С – 2). Тогда число возможных вариантов кодировки этих букв равно …+ 120

Алгоритм начисления заработной платы в зависимости от стажа работы задан блок-схемой:
.
Старший техник Иван Иванович при стаже работы 14 лет получает 12500 рублей заработной платы. В соответствии с данной блок-схемой оклад Ивана Ивановича составляет + рублей.

Множества , и изображены на диаграмме. Тогда для них верны следующие высказывания …
+ +

Языки программирования, адаптированные специально для Интернета, относятся к группе …+ скрипт-языков

В урне лежат золотые, серебряные и медные монеты. Наугад извлекается одна монета. Установите соответствия между случайными событиями и событиями, противоположными им:+1 «извлечена монета из драгоценного металла»2 «извлечена медная или серебряная монета» «извлечена монета из серебра»

Среди применяющихся в настоящее время способов распространения программных продуктов платными являются …+ коммерческий+ shareware

Обобщенная схема, показывающая направление и порядок движения потоков данных между компьютерами в сети, называется …+ логической топологией

Языком высокого уровня, разработанным для обучения детей дошкольного и младшего школьного возраста азам программирования, является …+ Лого

В списке экзаменационных заданий 10 качественных задач и 16 количественных. Наудачу выбирается 2 задания. Вероятность того, что среди них будет только одна качественная задача, равна …+

Закон распределения дискретной случайной величины , соответствующий многоугольнику распределения
,
имеет вид:+

За каждую верно решенную задачу студент получает 1 балл. Событие A – «студент верно решил первую задачу». Событие B – «студент верно решил вторую задачу». Установите соответствие между указанными событиями и полученными баллами:
1)
2)

+1 12 0

Сообщение закодировано согласно следующему алгоритму:
каждая буква исходного сообщения заменяется двузначным числом, первая цифра – номер строки таблицы, в которой находится буква, вторая цифра – номер столбца таблицы, в котором находится буква. Таблица представлена на рисунке
.
В закодированном сообщении полученные коды букв записываются подряд. Например, для буквы «У» номер строки – 4, номер столбца – 5. Код, соответствующий букве «У», – 45.
Принято закодированное по данному алгоритму сообщение «43 45 24 11».
Тогда исходное сообщение имеет вид …+ «ЛУНА»

К информационно-поисковым системам относятся …+ +

Программа «Проверка диска» позволяет …+ выявить логические и физические дефекты диска

Дана таблица, созданная при помощи СУБД MicrosoftAccess:


Тогда в запросе с условиями отбора


будет выведено +5 записей.

Междустрочный интервал относится к параметрам форматирования …+ абзацев

К семейству операционных систем семейства Windows, поддерживающих файловую систему NTFS, не относится …+ Windows 98

На родительском собрании присутствует 12 человек. Тогда число различных вариантов состава родительского комитета, в который должно войти 3 человека, равно …+ 220

Алгоритм представлен блок-схемой

Тогда в результате работы алгоритма для введенных значений и будет получено значение P, равное …+ 32

Режиму «Обычный» просмотра презентаций в MicrosoftPowerPoint 2007 соответствует иконка …+

Совокупность элементов в программе MS PowerPoint, которые одновременно отображаются на экране дисплея, называется …+ слайдом

Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид: . Тогда значение 9. Если , идти к пункту 4.
10. Вывести значения .
Пусть . Последовательно на каждом шаге вводятся значения переменной – числа . Тогда поле выполнения представленного алгоритма будет выведено значение , равное …+ 5

Известно, что
Лошадь купила четыре галоши,
Пару хороших и пару поплоше.
Если денек выдается погожий –
Лошадь гуляет в галошах хороших.
Стоит просыпаться первой пороше –
Лошадь выходит в галошах поплоше.
Если же лужи на улице сплошь –
Лошадь выходит совсем без галош.
Тогда поведение Лошади описывается алгоритмической структурой …+ ветвление

Алгоритм кодирования сообщения имеет вид:
Каждая буква исходного сообщения заменяется двузначным числом, первая цифра – номер строки таблицы, в которой находится буква, вторая цифра – номер столбца таблицы, в котором находится буква. Представлена следующая таблица:
. Тогда истинны следующие высказывания …+ +

Многопользовательской операционной системой является …+ Windows 2000

К форматированию текста относится действие …+ изменение размера полей

Алгоритм обработки результатов измерений задан блок-схемой:

Тогда в результате выполнения алгоритма над результатами измерений, представленными в таблице , при количестве измерений K = 6 будет вычислено значение M, равное …+ 3

В телефонном номере забыты 2 последние цифры. Вероятность того, что при случайном наборе будут набраны верные цифры, равна …+

Искусственный интеллект – научное направление, связанное с машинным моделированием человеческих интеллектуальных функций, в основе которого лежат положения науки …+ кибернетики

Обобщенная геометрическая схема соединений узлов сети называется …+ топологией

Символы некоторого алфавита кодируются двух-, трех- и четырехзначными двоичными кодами. Тогда максимальное количество символов алфавита, которые можно закодировать данными комбинациями, составит …+

Среди перечисленных языков программирования к процедурным языкам относится …+ Pascal

Дан алгоритм в словесной форме:

1) переменной присвоить значение (ввести с клавиатуры);

2) определить начальное значение суммы, определить значение переменной;

3) определить начальное значение параметра;

4) ввести значение переменной (с клавиатуры);

5) если, выполнить. Перейти к пункту 7;

6) если, изменить значение переменной по правилу;

7) изменить значение переменной i по правилу;

8) если, идти к пункту 4;

9) вывести значения.

В результате выполнения данного алгоритма будут выведены значения …

+ суммы отрицательных чисел и количества чисел, равных 0


Команду «Отжаться от пола двадцать раз!» можно представить в виде фрагмента блок-схемы …

Введем понятие случайного события. Поскольку в дальнейшем будем рассматривать только случайные события, то, начиная с этого момента, будем называть, как правило, просто событиями.

Любой набор элементарных исходов , или, иными словами, произвольное подмножество пространства элементарных исходов , называют событием .

Элементарные исходы, которые являются элементами рассматриваемого подмножества (события), называют элементарными исходами, благоприятствующими данному событию , или образующими это событие .

События будем обозначать прописными латинскими буквами, снабжая их при необходимости индексами, например: А , В 1 ,С 3 и т.д.

Говорят, что событие А произошло (или наступило), если в результате опыта появился какой-либо из элементарных исходов.

Замечание 1. Для удобства изложения материала термин «событие» как подмножество пространства элементарных событий Ω отождествляется с термином «событие произошло в результате опыта», или «событие заключается в появлении каких-то элементарных исходов».

Так в примере 2, где
, событиемА является подмножество
. Но мы будем также говорить, что событиеА – это появление любого из элементарных исходов

Пример 1.5. В примере 2 было показано, что при однократном бросании игральной кости

,

где - элементарный исход, заключающийся в выпаденииi очков. Рассмотрим следующие события: А – выпадение четного числа очков; В - выпадение нечетного числа очков; С – выпадение числа очков, кратного трем. Очевидно, что

,
,

Событие, состоящее из всех элементарных исходов, т.е. событие, которое обязательно происходит в данном опыте, называют достоверным событием.

Достоверное событие обозначают буквой .

Событие , противоположное достоверному событию Ω, называетсяневозможным . Очевидно, невозможное событие не может появиться в результате опыта. Например, выпадение более шести очков при бросании игральной кости. Невозможное событие будем обозначать черезØ.

Невозможное событие не содержит в своем составе ни одного элементарного события. Ему соответствует так называемое «пустое множество», не содержащее ни одной точки.

Геометрически случайные события изображаются множествами точек области Ω, т.е. областями, лежащими внутри Ω (рис. 1.1). Достоверному событию соответствует вся область Ω.

В теории вероятностей над событиями производят различные операции, совокупность которых образует так называемую алгебру событий , тесно связанную с алгеброй логики, широко используемой в современных вычислительных машинах.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Для рассмотрения задач алгебры событий введем основные определения.

Два события называются равносильными (эквивалентными) , если они состоят из одних и тех же элементарных событий. Эквивалентность событий обозначается знаком равенства:

А =В .

Событие В называется следствием события А :

А В ,

Если из появления А следует появление В . Очевидно, если А В и В А , то А =В , если А В и В С , то А С (рис. 1.2).

Суммой или объединением двух событий А и В называется такое событие С , которое состоит или в осуществлении события А , или события В , или событий А и В вместе. Условно записывают так:

С =А +В или С =А
В .

Суммой любого числа событий А 1 ,А 2 , … , А n называется событие С , которое состоит в осуществлении хотя бы одного из этих событий и записывается в виде

или

Произведением или совмещением (пересечением) двух событий А и В называется событие С , которое состоит и в осуществлении события А , и события В . Условно записывают так:

С =АВ или С =А В .

Аналогично определяется произведение любого числа событий. Событие С , эквивалентное произведению n событий А 1 ,А 2 , … , А n записывается в виде

или
.

Сумма и произведение событий обладают следующими свойствами.

    А +В =В +А .

    (А +В )+С =А +(В +С )=А +В +С .

    АВ =ВА .

    (АВ )С =А (ВС )=АВС .

    А (В +С )=АВ +АС .

Большинство из них легко проверить самостоятельно. Рекомендуем пользоваться при этом геометрической моделью.

Приведем доказательство 5-го свойства.

Событие А (В +С ) состоит из элементарных событий, которые принадлежат и А и В +С , т.е. событию А и хотя бы одному из событий В ,С . Иначе говоря, А (В +С ) – это множество элементарных событий, принадлежащих либо событию АВ , либо событию АС , т.е. событию АВ +АС . Геометрически событие А (В +С ) представляет собой общую часть областей А и В +С (рис. 1.3.а), а событие АВ +АС – объединение областей АВ и АС (рис. 1.3.б), т.е. ту же самую область А (В +С ).

Рис. 1.3.а Рис. 1.3.б

Событие С , состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, называется разностью событий А и В . Условно записывают так:

С =А -В .

События А и В называются совместными , если они могут появиться в одном и том же испытании. Это значит, что существуют такие элементарные события, которые входят в состав и А и В одновременно (рис. 1.4).

События А и В называются несовместными , если появление одного из них исключает появление другого, т.е. если АВ = Ø. Иными словами, нет ни одного элементарного события, которое входило бы в состав и А и В одновременно (рис. 1.5). В частности, противоположные события ивсегда несовместны.

Рис. 1.4 Рис. 1.5

События
называютсяпопарно несовместными , если любые два из них несовместны.

События
образуютполную группу , если они попарно несовместны и в сумме дают достоверное событие, т.е. если для любых i , k

Ø;
.

Очевидно, каждое элементарное событие должно входить в состав одного и только одного события полной группы
. Геометрически это значит, что вся область Ω области
делят наn частей, не имеющих между собой общих точек (рис. 1.6).

Противоположные события ипредставляют собой простейший случай полной группы.

Над событиями можно производить различные действия, получая при этом другие события. Дадим определения этих действий.

Определение 2.13.

Если при всяком испытании, при ко­тором происходит событие А , происходит и событие В , то событие А называется частным случаем события В.

Говорят также, что А влечет за собой В, и пишут: (А вложено в В ) или (рис. 2.1).

Например, пусть событие А состоит в появлении двух очков при бросании игральной кости, а событие В состоит в появлении четного числа очков при бросании игральной кости В = {2; 4; 6}. Тогда событии А есть частный случай события В , так как два - четное число. Можем записать .

Рис . 2.1 . Событие А - частный случай события В

Определение 2.14.

Если А влечет за собой В , а В влечет за собой А , то эти события равносильны , так как они вместе наступают или вместе не наступают.

Из того, что и (следует) А = В .

Например, А - событие, состоящее в том, что на иг­ральной кости выпала четная цифра меньше трех. Это со­бытие равносильно событию В , состоящему в том, что на игральной кости выпала цифра 2.

Определение 2.15.

Событие, состоящее в совместном на­ступлении обоих событий и А , и В , называется пересече­нием этих событий А∩В , или произведением этих собы­тий АВ (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Пересечение событий

Например, пусть событие А состоит в выпадении четно­го числа очков при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 2-х, 4-х и 6-ти очков. А - {2; 4; 6}. Событие В состоит в выпадении числа очков больше трех при бросании игральной кости, тогда его наступлению бла­гоприятствуют элементарные события, состоящие в выпа­дении 4-х, 5-ти и 6-ти очков. В = {4; 5; 6}. Тогда пересечени­ем или произведением событий А и В будет событие, состо­ящее в выпадении четного числа очков, большего трёх (выполняется и событие А, и событие В):

А∩В =АВ= {4; 6}.

Пересечением событий, одно из которых А - выпадение дамы из колоды карт, а другое В - выпадение трефы, будет трефовая дама.



Примечание. Если два события А и В несовместны, то их совместное наступление невозможно АВ = 0.

Определение 2.16.

Событие, состоящее в наступлении или события А , или события В (хотя бы одного из событий, по крайней мере одного из этих событий), называется их объединением А и В , или суммой событий А и В и обо­значается через А+В (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Объединение событий

Например, событие А состоит в выпадении четного чис­ла очков при бросании игральной кости, тогда его наступ­лению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 2-х, 4-х и 6-ти очков, или А - {2; 4; 6}. Собы­тие В состоит в выпадении числа очков больше трех при бросании игральной кости, тогда его наступлению благо­приятствуют элементарные события, состоящие в выпаде­нии 4-х, 5-ти и 6-ти очков, или В = (4; 5; 6}. Тогда объедине­нием, или суммой событий А и В будет событие, состоящее в выпадении хотя бы одного из них - либо четного числа очков, либо числа очков большего трёх (выполняется или событие А, или событие В):

А ∩ В =А +В= {2; 4; 5; 6}.

Определение 2.17.

Событие, состоящее в том, что собы­тие А не происходит, называется противоположным со­бытию А и обозначается через Ā (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Противоположные события

Например, пусть событие А состоит в выпадении четного числа очков при бросании игральной кости, тогда его на­ступлению благоприятствуют элементарные события, состо­ящие в выпадении 2-х,-4-х и 6-ти очков, или А = {2; 4; 6}. Тогда событие Ā состоит в выпадении нечетного числа оч­ков, и его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 1-го, 3-х и 5-ти очков. Ā ={1;3;5}.

Определение 2.18.

Событие (А и В) , состоящее в том, что А происходит, а не происходит, называется разно­стью событий А и В и обозначается через А-В . Впрочем, можно обойтись без этого обозначения, так как из опре­деления следует, что А - В - (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Разность событий А и В

Например, пусть событие А состоит в выпадении чет­ного числа очков при бросании игральной кости, тогда А = {2; 4; 6}. Событие В состоит в выпадении числа очков больше трех. В = {4; 5; 6}.

Тогда - событие, состоящее в выпадении числа очков не больше трех, и его наступлению благоприятствуют эле­ментарные события, состоящие в выпадении 1-го, 2-х и 3-х очков. = {1; 2; 3}.

Разностью событий А и В будет событие, состоящее в том, что выполняется событие А и не выполняется событие В. Его наступлению благоприятствует элементарное событие, состоящее в выпадении 2-х очков:

А-В= А∩ = {2}.

Определения суммы и произведения событий распростра­няются и на большее число событий:

А + В + ... + N = (А или В, или... или N ) (2.1)

есть событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А, В, ... N ;

АВ... N = (А и В и... и N ), (2.2)

есть событие, состоящее в совместном наступлении всех со­бытий А, В, ... N.

Аналогично определяются сумма и произведение беско­нечного числа событий А 1 , А 2 , ... А п, ...

Отметим, что все же некоторые правила алгебры сохра­няются и для действий над событиями. Например, имеет место перёместительный закон (коммуникативность):

А + В = В + А, АВ=ВА, (2.3)

выполняется распределительный закон (дистрибутивность):

(А +В ) С = АС + ВС, (2.4)

так как левая и правая части представляют событие, состоя­щее в том, что происходят событие С и по крайней мере одно из событий А и В. Справедлив также сочетательный закон (ассоциативность):

А+(В + С) = (А+В)+ С = А+В + С;

А(ВС) = (АВ)С = АВС. (2.5)

Кроме того, имеют место и такие равенства, которые в обычной алгебре показались бы нелепыми. Например, для любых А, В, С:

АА=А (2.6)

А+А = А (2.7)

А+АВ = А (2.8)

АВ + С = (А+С)(В+С) (2.9)

Противоположные события связаны:

· законом двойного отрицания:

= А; (2.10)

· законом исключенного третьего

А + = Ω. (сумма их есть достоверное событие); (2.11)

· законом противоречия:

А = Ø(произведение их невозможное событие). (2.12)

Равенства (2.6)-(2.12) доказываются для высказываний в курсе дискретной математики. Предлагаем читателю про­верить это самостоятельно, используя определения суммы и произведения событий.

Если В = А 1 + А 2 +... +А п и события А попарно несовме­стимы, т.е. каждое несовместимо с остальными: А j А k = Ø при i≠k говорят, что событие В подразделяется на част­ные случаи А 1 , А 2 , ..., А п. Например, событие В, состоящее в выпадении нечетного числа очков, подразделяется на част­ные случаи Е 1 , Е 3 , Е 5 , состоящие соответственно в выпаде­нии 1, 3 и 5 очков.

Исходя из определения действий над событиями, мы мо­жем дать более четкое определение полной группе событий.

Определение 2.19.

Если А 1 + А 2 +... +А п = , т.е. если хотя бы одно из событий А 1 + А 2 +... +А п непременно дол­жно осуществиться и если при этом А j попарно несовме­стимы (т.е. достоверное событие подразделяется на частные случаи А 1 + А 2 +... +А п ), то говорят, что события А 1 + А 2 +... +А п образуют полную группу событий. Таким образом, если А 1 + А 2 +... +А п - полная группа событий, то при каждом испытании обязательно происходит одно и только одно из событий А 1 + А 2 +... +А п .

Например, при бросании игральной кости полную груп­пу событий составляют также события Е 1 , Е 2 , Е 3 , Е 4 , Е 5 и Е 6 , состоящие соответственно в выпадении 1, 2, 3,4, 5 и 6 очков.



Copyright © 2024 Наука. Техника. Экономика. Литература. Юриспруденция.