Функции комплексной переменной. Дифференцирование функций комплексной переменной. Производная ФКП. Условия Коши-Римана. Аналитические функции Значение функции комплексного переменного онлайн
Пусть
функция W
=
f
(Z
)
задана на некотором множестве
иZ
0
,
принадлежащая E
,
предельная точка этого множества.
Придадим Z
0
=
x
0
+
i
·
y
0
приращение
ΔZ
=
Δx
+
i
·
Δy
,
чтобы точка
Z
=
Z
0
+
ΔZ
принадлежала множеству Е
.
Тогда функция W
=
u
+
i
·
v
=
f
(Z
)
=
u
(x
,
y
)+
i
·
v
(x
,
y
).
Получим приращение ΔW
=
Δu
+
i
·
Δv
= f
(Z
0
+
ΔZ
)
-
f
(Z
0
)
=
Δf
(Z
0
)
,
.
Если
существует конечный предел
,
то он называетсяпроизводной
функции
f
(Z
)
в точке
Z
0
по множеству
E
,
и обозначается
,
,
,
W
"
.
Формально производная функция комплексного переменного определяется точно так же как и производная функции вещественного переменного, но содержание их различно.
В определении производной функции f (x ) вещественной переменной в точке х 0 , x → х 0 вдоль прямой. В случае функции комплексного переменного f (Z ), Z может стремиться к Z 0 по любому пути плоскости, ведущему в точку Z 0 .
Поэтому требование существования производной функции комплексного переменного очень жестко. Этим и объясняется, что даже простые функции комплексного переменного не имеют производной.
Пример.
Рассмотрим
функцию W
=
=
x
-
i
·
y
.
Покажем, что эта функция не имеет
производной ни в одной точке. Возьмем
любую точку Z
0
=
x
0
+
i
·
y
0
,
придадим ей приращение ΔZ
=
Δx
+
i
·
Δy
,
тогда функция получит приращение
.
Значит
,
,
Будем
вначале рассматривать ΔZ
=
Δx
+
i
·
Δy
такие, что Δx
→ 0
, а Δy
= 0
, т. е. точка
Z
0
+
ΔZ
→
Z
0
по горизонтальной прямой. При этом мы
получим, что
Будем
теперь рассматривать приращение ∆Z
такими, что ∆x
= 0
,
а ∆y
→ 0
,
т.е. когда Z
0
+
∆
Z
→
Z
0
по
вертикальной прямой, при этом очевидно
будет
.
Полученные
пределы
различные, поэтому отношение
не имеет предела при∆
Z
→ 0
,
то есть функция
не имеет производной в любой точкеZ
0
.
Выясним
смысл производной по множеству. Пусть
E
– действительная ось, и W
=
f
(Z
)
=
x
,
тогда это
есть обычная вещественная функция
вещественной переменной f
(x
)
=
x
и ее производная будет равна 1
(
).
Пусть
теперь Е
– это вся плоскость
(Z)
.
Покажем, что функция f
(Z
)
=
x
в этом случае не имеет производной
ни в одной точке. Действительно, в данном
случае
.Отсюда
видно, что если
а
,
то
.
Если же
,
а
,
то
.Следовательно,
отношение
не имеет предела при
,
поэтому функция
f
(Z
)
=
x
не имеет производной ни в одной точке
.
Отметим,
что если рассматривается комплексно-значная
функция вещественной переменной
,
то из определения производной
непосредственно вытекает, что
,
следовательно,(этопроизводная
по вещественной
оси).
Формула для приращения функций.
Пусть
функция W
=
f
(Z
)
имеет в точке Z
0
производную
.
Покажем, что имеет место представление(1), где величина
,
когда
.
Действительно,
по
определению производной имеем
,
следовательно, величина
,
когда
.
Поэтому имеет место представление (1)
(умножим обе части на
и перенесем
в левую часть).
Лекция №8 Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного
Функция
W
=
f
(Z
)
называется дифференцируемой
в точке
Z
0
,
если в этой точке имеет место представление
(2),
гдеA
–
фиксированное комплексное число, а
величина
стремится к нулю, когда
.
Если
функция W
=
f
(Z
)
дифференцируема в точке Z
0
,
то главная линейная относительно
ее частьA
·
приращение
в точкеZ
0
называется дифференциалом
функции
f
(Z
)
в точке
и обозначается
.
Имеет место теорема.
Теорема.
Для
того чтобы функция
W
=
f
(Z
)
была дифференцируема в точке
Z
0
,
необходимо и достаточно, чтобы она имела
в этой точке конечную производную
,
при этом всегда оказывается, что в
представлении (2)
.
Доказательство .
Необходимость.
Пусть функция дифференцируема в точке
Z
0
.
Покажем, что она имеет в этой точке
конечную производную, и что эта производная
равна числу А
.
В силу дифференциации f
(Z
)
в точке Z
0
имеет место представление (2), значит
(3). Производя здесь предельный переход
при
получим, что
,
значит
.
Достаточность.
Пусть функция f
(Z
)
имеет в точке Z
0
конечную производную
.
Покажем, что имеет место представление
(2). В силу существования производной
имеет место представление (1), но это и
есть представление (2), в которомA
=
.
Достаточность установлена.
Как
мы знаем, дифференциал
,
принимая в качестве дифференциала
независимой переменнойZ
ее
приращение
,
то есть, полагая
,
мы можем записать
и поэтому
(это отношение дифференциалов, а не
единый символ).
Рассмотрим некоторую комплексную величину $w$, которая задается выражением $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, где $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ - действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$.
Данная величина является комплексной функцией вещественного переменного.
Определение 1
Функция $w(z)$ называется аналитической в некоторой точке z, если данная функция дифференцируема в некоторой окрестности данной точки z.
Определение 2
Функция называется аналитической в некоторой области D, если она является аналитической в каждой точке данной области.
Пусть функции $u(x),\, \, \, v(x)$ являются дифференцируемыми.
Определение 3
Выражение $w_{x} "=u"_{x} (x,y)+i\cdot v"_{x} (x,y)$ называется производной комплексной функции действительного переменного по действительному аргументу$x$.
Аналогично определяется производная по действительному аргументу$y$.
Для вычисления производной воспользуемся следующей формулами:
\ \
1) Для функции $w=(3x+2)+(x^{3} +2y)\cdot i$ получаем:
\ \
2) Для функции $w=(x+e^{y})+(3y^{2} +\ln x)\cdot i$ получаем:
\ \
Для того чтобы некоторая функция $w(z)$ являлась дифференцируемой в некоторой точке $z_{0} =x_{0} +y_{0} \cdot i$, необходимо и достаточно, чтобы $u(x,y)$ и $v(x,y)$ являлись дифференцируемыми в точке $(x_{0} ;y_{0})$ и выполнялись следующие условия:
\[\begin{array}{l} {\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} =\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} } \\ {\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} =-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} } \end{array}.\]
Данные условия называются условиями Коши-Римана.
Примечание 1
Условия Коши-Римана являются соотношениями, которые связывают вещественную и мнимую части дифференцируемой функции $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, где $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ - действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$.
Выделим действительную и мнимую части функции. Положим $z=x+yi$ и получим:
Следовательно, $u(x,y)=e^{1+2y} \cdot \cos (-2x);\, \, \, \, v(x,y)=e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)$ - искомые действительная и мнимая части функции.
Воспользуемся условиями Коши-Римана: $\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y} ;\frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{\partial v}{\partial x} $.
\[\begin{array}{l} {\frac{\partial u}{\partial x} =2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x);\frac{\partial v}{\partial y} =2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)} \\ {2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)=2e^{1+2y} \cdot \sin (-2x)} \end{array}\] \[\begin{array}{l} {\frac{\partial u}{\partial y} =2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x);\frac{\partial v}{\partial x} =-2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x)} \\ {2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x)=-(-2e^{1+2y} \cdot \cos (-2x))} \end{array}\]
Условия Коши-Римана выполняются для любых действительных $x,y$. Следовательно, функция является аналитической для любых действительных $x,y$.
Найдем производную функции и вычислим значение производной функции в заданной точке $z_{0} =\frac{\pi }{6} $.
Производная функции имеет вид:
Вычислим значение производной функции в заданной точке
На практике можно встретить следующие задачи.
Задача 1
По заданной действительной части $u(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $v(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.
Задача 2
По заданной мнимой части $v(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $u(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.
Алгоритм решения задачи 2 будет следующим:
- найти действительную часть с помощью условий Коши-Римана;
- составить функцию $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
- выполнить преобразования и выделить переменную $z=x+yi$ или $\overline{z}=x-yi$.
Замечание 1
При решении практических задач могут пригодиться следующие соотношения:
\ \ \
Замечание 2
Операция деления на мнимую единицу $i$ равносильна операции умножения на $-i$.
Пример 3
По действительной части $u(x,y)=-x^{2} +y^{2} -5y$ некоторой функции комплексной переменной восстановить ее мнимую часть $v(x,y)$ и восстановить данную функцию, при этом функция удовлетворяет начальному условию $w(0)=0$.
Найдем мнимую часть $v(x,y)$ искомой функции $w(z)$. Воспользуемся первым условием Коши-Римана:
\[\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} =\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} .\]
Подставим исходные значения и получим:
\[\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} =\frac{\partial (-x^{2} +y^{2} -5y)}{\partial x} =-2x\] \ \
Найдем неизвестную функцию $\phi (x)$.
Воспользуемся вторым условием Коши-Римана:
\[\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} =-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} .\] \ \[\phi "(x)=5\Rightarrow \phi (x)=\int 5dx =5x+C\]
Следовательно,
Мнимая часть искомой функции $w(z)$ восстановлена, тогда можем записать саму функцию:
Преобразуем полученное выражение:
\ \[=-x^{2} +y^{2} -5y+-2xyi+5xi+Ci=(-x^{2} +y^{2} -2xyi)+(-5y+5xi)+Ci=\] \[=-(x^{2} +2xyi-y^{2})+5i\cdot (x-\frac{y}{i})+Ci\] \
Используя начальное условие $w(0)=0$, найдём значение константы $C$.
Следовательно, искомая функция имеет вид:
Мнимая часть функции примет вид.
Функции комплексной переменной.
Дифференцирование функций комплексной переменной.
Данная статья открывает серию уроков, на которых я рассмотрю типовые задачи, связанные с теорией функций комплексной переменной. Для успешного освоения примеров необходимо обладать базовыми знаниями о комплексных числах. В целях закрепления и повторения материала достаточно посетить страницу . Также потребуются навыки нахождения частных производных второго порядка . Вот они какие, эти частные производные… даже сам сейчас немного удивился, насколько часто встречаются…
Тема, которую мы начинаем разбирать, не представляет особых сложностей, и в функциях комплексной переменной, в принципе, всё понятно и доступно. Главное, придерживаться основного правила, которое выведено мной опытным путём. Читайте дальше!
Понятие функции комплексной переменной
Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:
Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.
В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:
Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.
Чем отличается функция комплексной переменной?
Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной , то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительные значения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:
Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных
переменных.
Функция называется действительной частью
функции .
Функция называется мнимой частью
функции .
То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:
Пример 1
Решение:
Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:
(1) В исходную функцию подставили .
(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.
(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что
(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).
(5) У второй группы выносим за скобки.
В результате наша функция оказалась представлена в виде
Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .
Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.
Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).
Пример 2
Найти действительную и мнимую часть функции
Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:
БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!
Полное решение и ответ в конце урока.
Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.
Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.
Дифференцирование функций комплексной переменной.
У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .
Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.
Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:
1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .
2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана
:
Только в этом случае будет существовать производная!
Пример 3
Решение раскладывается на три последовательных этапа:
1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:
Так как , то:
Таким образом:
– мнимая часть функции .
Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .
2) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.
Начнем с проверки условия . Находим частные производные
:
Таким образом, условие выполнено.
Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.
Проверяем выполнение второго условия :
Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.
Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.
3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:
Мнимая единица при дифференцировании считается константой.
Ответ:
– действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .
Существуют еще два способа нахождения производной, они, конечно, применяются реже, но информация будет полезна для понимания второго урока – Как найти функцию комплексной переменной?
Производную можно найти по формуле:
В данном случае:
Таким образом
Предстоит решить обратную задачу – в полученном выражении нужно вычленить . Для того, чтобы это сделать, необходимо в слагаемых и вынести за скобку:
Обратное действие, как многие заметили, выполнять несколько труднее, для проверки всегда лучше взять выражение и на черновике либо устно раскрыть обратно скобки, убедившись, что получится именно
Зеркальная формула для нахождения производной:
В данном случае: , поэтому:
Пример 4
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.
Краткое решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.
Всегда ли выполняются условия Коши-Римана? Теоретически они чаще не выполняются, чем выполняются. Но в практических примерах я не припомню случая, чтобы они не выполнялись =) Таким образом, если у вас «не сошлись» частные производные, то с очень большой вероятностью можно сказать, что вы где-то допустили ошибку.
Усложним наши функции:
Пример 5
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить
Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавится новый пунктик: нахождение производной в точке. Для куба нужная формула уже выведена:
Определим действительную и мнимую части данной функции:
Внимание и еще раз внимание!
Так как , то:
Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Проверка второго условия:
Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть условие также выполнено.
Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция является дифференцируемой:
Вычислим значение производной в требуемой точке:
Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,
Функции с кубами встречаются часто, поэтому пример для закрепления:
Пример 6
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить .
Решение и образец чистового оформления в конце урока.
В теории комплексного анализа определены и другие функции комплексного аргумента: экспонента, синус, косинус и т.д. Данные функции обладают необычными и даже причудливыми свойствами – и это действительно интересно! Очень хочется рассказать, но здесь, так уж получилось, не справочник или учебник, а решебник, поэтому я рассмотрю ту же задачу с некоторыми распространенными функциями.
Сначала о так называемых формулах Эйлера :
Для любого действительного
числа справедливы следующие формулы:
Тоже можете переписать в тетрадь в качестве справочного материала.
Строго говоря, формула всего одна, но обычно для удобства пишут и частный случай с минусом в показателе. Параметр не обязан быть одинокой буковкой, в качестве может выступать сложное выражение, функция, важно лишь, чтобы они принимали только действительные значения. Собственно, мы это увидим прямо сейчас:
Пример 7
Найти производную.
Решение: Генеральная линия партии остаётся непоколебимой – необходимо выделить действительную и мнимую части функции. Приведу подробное решение, и ниже закомментирую каждый шаг:
Поскольку , то:
(1) Подставляем вместо «зет».
(2) После подстановки нужно выделить действительную и мнимую часть сначала в показателе экспоненты. Для этого раскрываем скобки.
(3) Группируем мнимую часть показателя, вынося мнимую единицу за скобки.
(4) Используем школьное действие со степенями.
(5) Для множителя используем формулу Эйлера , при этом .
(6) Раскрываем скобки, в результате:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Дальнейшие действия стандартны, проверим выполнение условий Коши-Римана:
Пример 9
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Производную, так и быть, находить не станем.
Решение: Алгоритм решения очень похож на предыдущие два примера, но есть очень важные моменты, поэтому начальный этап я опять закомментирую пошагово:
Поскольку , то:
1) Подставляем вместо «зет».
(2) Сначала выделяем действительную и мнимую часть внутри синуса . В этих целях раскрываем скобки.
(3) Используем формулу , при этом .
(4) Используем чётность гиперболического косинуса : и нечётность гиперболического синуса : . Гиперболики, хоть и не от мира сего, но во многом напоминают аналогичные тригонометрические функции.
В итоге:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Внимание!
Знак «минус» относится к мнимой части, и его ни в коем случае не теряем! Для наглядной иллюстрации полученный выше результат можно переписать так:
Проверим выполнение условий Коши-Римана:
Условия Коши-Римана выполнены.
Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены.
С косинусом, дамы и господа, разбираемся самостоятельно:
Пример 10
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.
Я специально подобрал примеры посложнее, поскольку с чем-нибудь вроде все справятся, как с очищенным арахисом. Заодно внимание потренируете! Орехокол в конце урока.
Ну и в заключение рассмотрю ещё один интересный пример, когда комплексный аргумент находится в знаменателе. Пару раз в практике встречалось, разберём что-нибудь простое. Эх, старею…
Пример 11
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.
Решение:
Снова необходимо выделить действительную и мнимую часть функции.
Если , то
Возникает вопрос, что же делать, когда «зет» находится в знаменателе?
Всё бесхитростно – поможет стандартный приём умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
, он уже применялся в примерах урока Комплексные числа для чайников
. Вспоминаем школьную формулу . В знаменателе у нас уже есть , значит, сопряженным выражением будет . Таким образом, нужно умножить числитель и знаменатель на :
Понятие функции комплексной переменной
Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:
Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.
В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:
Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.
Чем отличается функция комплексной переменной?
Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной, то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительныезначения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:
Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной
Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных переменных.
Функция называется действительной частью функции .
Функция называется мнимой частью функции .
То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:
Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:
(1) В исходную функцию подставили .
(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.
(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что
(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).
(5) У второй группы выносим за скобки.
В результате наша функция оказалась представлена в виде
Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .
Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.
Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).
Найти действительную и мнимую часть функции
Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:
БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!
Полное решение и ответ в конце урока.
Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.
Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.
Дифференцирование функций комплексной переменной.
Условия Коши-Римана
У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .
Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.
Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:
1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .
2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана:
Только в этом случае будет существовать производная!
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.
Решение раскладывается на три последовательных этапа:
1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:
Так как , то:
Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .
3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.
Начнем с проверки условия . Находим частные производные
:
Таким образом, условие выполнено.
Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.
Проверяем выполнение второго условия :
Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.
Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.
3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:
Мнимая единица при дифференцировании считается константой.
Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .
Интеграл ФКП. Теорема Коши.
Формула (52 ) называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши. Если в качестве контура в (52 ) выбрать окружность , то, заменяя и учитывая, что - дифференциал длины дуги , интеграл Коши можно представить в виде формулы среднего значения:
Помимо самостоятельного значения интегральной формулы Коши, (52 ), (54 ) фактически дают очень удобный способ вычисления контурных интегралов, которые, как видно, будут выражаться через значение "остатка" подынтегральной функции в точке, где эта функция имеет особенность .
Пример 3-9. Вычислить интеграл от функции по контуру (рис.20 ).
Решение. Точка , в которой функция имеет особенность, в отличие от примера 4-1, находится внутри окружности . Представим интеграл в форме (52 ):
|
|
Формула Коши.
Пусть - область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция - голоморфна в и - точка внутри области . Тогда справедлива следующая формула Коши:
Формула справедлива также, если предполагать, что голоморфна внутри , и непрерывна на замыкании, а также если граница не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.(Голоморфная функция-функция комплексного числа, кусочно-гладкая- функция вещественного числа)
Элементарные ФКП: функция Тейлора, тригонометрические функции, гиперболические функции, обратные тригонометрические функции, логарифмические функции, формула Коши.
1. Производная и дифференциал. Определения производной и дифференциала функции комплексного переменного дословно совпадают с соответствующими определениями для функций одного действительного переменного.
Пусть функция w = f(z) = и + iv определена в некоторой окрестности U точки zo. Дадим независимому переменному z = х + гу приращение Az = А.г + гАу, не выводящее за пределы окрестности U. Тогда функция w = f(z) получит соответствующее приращение Aw = = f(z 0 + Дг) - f(z 0).
Производной функции w = f(z) в точке zq называется предел отношения приращения функции Aw к приращению аргумента Az при стремлении Az к нулю (произвольным образом).
Производная обозначается f"(z Q), w или у-. Определение производной можно записать в виде
Предел в (6.1) может и не существовать; тогда говорят, что функция w = f(z) не имеет производной в точке zq.
Функция w = f(z) называется дифференцируемой о точке Zq , если она определена в некоторой окрестности U точки zq и ее приращение Aw можно представить в виде
где комплексное число Л не зависит от А г, а функция а(Аг) - бесконечно малая при Az -» 0, т.е. Пт а(Аг) = 0.
Так же как и для функций действительного переменного, доказывается, что функция f(z) дифференцируема в точке zq тогда и только тогда, когда она имеет производную в zo . причем А = f"(zo). Выражение f"(zo)Az называется дифференциалом функции f(z) в точке Zq и обозначается dw или df(zo). При этом приращение Az независимого переменного -г называется также дифференциалом переменного г и
обозначается dz. Таким образом,
Дифференциал есть главная линейная часть приращения функции.
Пример 6.1. Исследовать, имеет ли функция w = /(г) = Rez производную в произвольной точке Zq.
Решение. По условию, ш = Rea = х. В силу определения производной, предел (С.1) не должен зависеть от того, по какому пути
точка z = Zq + Az приближается к го при Az -? 0. Возьмем вначале Az - Ах (рис. 15, а). Так как Aw = Ах. то = 1. Если
же взять Az = iAy (рис. 15, б ), то Ах = 0 и, следовательно, Aw = 0.
Значит, и = 0. Поэтому предат отношения при Az -> 0 не A z A z
существует и, следовательно, функция w = Re г = х не имеет производной ни в одной точке.
В то же время функция w = z = х + iy, очевидно, имеет производную в любой точке го, и /"(го) = 1. Отсюда ясно, что действительная и мнимая части дифференцируемой функции /(г) не могут быть произвольными; они должны быть связанными некоторыми дополнительными соотношениями. Эти соотношения возникают оттого, что условие существования производной /"(го) существенно более ограничительно, чем условие существования производной функций одного действительного переменного или частных производных функций нескольких действительных переменных: требуется, чтобы предел в (6.1) существовал и не зависел от пути, по которому точка г = = го + Аг приближается к го при Аг 0. Для вывода указанных соотношений напомним определение дифференцируемости функции двух переменных.
Действительная функция и = и(х,у) действительных переменных х и у называется дифференцируемой в точке Ро(хо,уо), если она определена в некоторой окрестности точки Д> и ее полное приращение А и = и(х о + Ах, у о + А у) - и(хо,Уо) представимо в виде
где В и С - действительные числа, не зависящие от Дж, Ау, а {3 Ах и Ау, стремящиеся к нулю при Ах -» 0, Ау -> 0.
Если функция и дифференцируема в точке Ро, то она имеет част-
г, „ ди (Р 0) ^ ди(Ро) гт ,
ные производные в Ро, причем В = ---, С = ---. Но (в отли-
ох ау
чие от функций одной переменной) из существования частных производных функции и(х,у) еще не следует ее дифференцируемость.
2. Условия Коши-Римана.
Теорема 6.1. Пусть функция w = f(z) комплексного переменного z = (ж, у) определена в окрестности точки, zq = (жо, у о) и f(z) = и(х,у) +iv(x, y). Для того, чтобы f(z) была дифференцируемой в точке Zq, необходимо и достаточно, чтобы функции и(х, у) XI v(x, y) были дифференцируемыми в точке (жо, уо) и чтобы в этой, точке выполнялись условия
Равенства (6.4) называются условиями Коши-Римана .
Доказательство. Необходимость. Пусть функция w = f(z) дифференцируема в точке zq, т.е.
Обозначим f"(zo) = а + ib а(Дг) = fi(Ax, Ау) + г7(Дж, Ay); Az = Ах + (Ау, где /3 и 7 - действительные функции переменных Ах, Ау, стремящиеся к нулю при Дж -> 0, Ау -> 0. Подставляя эти равенства в (6.5) и выделяя действительные и мнимые части, получим:
Поскольку равенство комплексных чисел равносильно равенству их действительных и мнимых частей, то (6.6) равносильно системе равенств
Равенства (6.7) означают, что функции и(х,у ), v(x,y) удовлетворяют условию (6.3) и, следовательно, являются дифференцируемыми. Так как коэффициенты при Дж и Ау равны частным производным по ж и у соответственно, то из (6.7) получаем
откуда и следуют условия (6.4).
Достаточность. Предположим теперь, что функции и(х, у) и v(x,y) дифференцируемы в точке (хо.уо) и и(х,у) и выполнены условия (6.4).
Обозначая а = ^, 6=-^ и применяя (6.4), придем к равенствам (6.8). Из (6.8) и условия дифференцируемости функций и(х,у), v(x,y)
имеем
где ft, 7i, ft, д -2 - функции, стремящиеся к нулю при Ах -> 0, Ау -> -> 0. Отсюда
An + iAv = (о + ib)(Ах + i.Ay) + (ft + ift)Ax + (71 + *72)Ay. (6.9) Определим функцию а(Дг) равенством
и положим А = а 4- ib. Тогда (6.9) перепишется в виде равенства
которое совпадает с (6.2). Дня доказательства дифференцируемости
функции f(z) осталось показать, что lim a(Az) = 0. Из равенства
следует, что Ах ^ |Дг|, Ау ^ |Дг|. Поэтому
Если Az -? 0, то Ах -? 0, Ау -> 0, а значит, и функции ft, ft, 71, 72 стремятся к нулю. Поэтому а(Дг) -> 0 при Az -> 0, и доказательство теоремы 6.1 закончено.
Пример 6.2. Выяснить, является ли функция w = z 2 дифференцируемой; если да, то в каких точках?
Решение, w = и + iv = (х + iy ) 2 = х 2 - у 2 + 2ixy, откуда и = = х 2 - у 2 , V = 2ху. Следовательно,
Таким образом, условия (6.4) Коши-Римана выполнены в каждой точке; значит, функция w = г 2 будет дифференцируемой в С.
Пример 6.3. Исследовать дифференцируемость функции w = - z - x - iy.
Р е ш е н и е. w = u + iv = x - iy, откуда и = х, v = -у и
Таким образом, условия Коши-Римана не выполнены ни в одной точке, и, следовательно, функция w = z нигде не дифференцируема.
Проверять дифференцируемость функции и находить производные можно непосредственно по формуле (6.1).
П р и м е р 6.4. Используя формулу (6.1), исследовать дифференцируемость функции IV = z 2 .
Решение. Aw - (zq + Az) 2 - Zq = 2 zqAz -I- (Az) 2 , откуда
Следовательно, функция w = zr дифференцируема в любой точке 2о, и ее производная f"(zo) = 2 zo-
Так как основные теоремы о пределах сохраняются для функции комплексного переменного, а определение производной функции комплексного переменного также не отличается от соответствующего определения для функций действительного переменного, то известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции остаются справедливыми и для функций комплексного переменного. Аналогично доказывается также, что если функция f(z) дифференцируема в точке zo. то она непрерывна в этой точке; обратное утверждение неверно.
3. Аналитические функции. Функция w = /(^дифференцируемая нс только в самой точке zq, но и в некоторой окрестности этой точки, называется аналитической в точке zq. Если f(z) является аналитической в каждой точке области D, то она называется аналитической (регулярной, голоморфной) в области D.
Из свойств производных сразу следует", что если f(z) и g(z) - аналитические функции в области D, то функции f(z) + g(z), f(z) - g(z ), f(z) g(z) также аналитичны в области D, а частное f(z)/g(z) аналитическая функция во всех точках области D. в которых g(z) ф 0. Например, функция
является аналитической в плоскости С с выброшенными точками z = = 1 и z - i.
Из теоремы о производной сложной функции вытекает следующее утверждение: если функция и = u(z ) аналитична в области D и отображает D в область D" переменного и, а функция w = f(u) аналитична в области D" , то сложная функция w = f(u(z)) переменного z аналитична в D.
Введем понятие функции, аналитической в замкнутой области D. Отличие от открытой области здесь в том, что добавляются точки границы, не имеющие окрестности, принадлежащей D; поэтому производная в этих точках нс определена. Функция f(z) называется аналитической (регулярной , голоморфной ) в замкнутой области D , если эту функцию можно продолжить в некоторую более широкую область D i, содержащую D, до аналитической в D функции.
- Условия (6.4) изучались еще в XVIII в. Даламбером и Эйлером. Поэтомуих иногда называют также условиями Даламбера-Эйлера, что с историческойточки зрения более правильно.